Наименование:

Информация:

Описание (план):

     С одним из видов числовой последовательности мы встречаемся в биологии. Число  образовавшихся клеток при  митозе и мейозе изменяется как n-й член геометрической прогрессии со знаменателем 2 и 4 соответственно. В литературе, при изучении стихотворных метров, на помощь приходит арифметическая прогрессия. Например, ямб – стихотворный метр с акцентами на чётных слогах стиха. Номера ударных слогов (второй, четвёртый, шестой, восьмой и т. д.) образуют арифметическую прогрессию с первым членом два и разностью, равной двум. Числовые последовательности  нашли своё применение и в экономике. Так, при подсчёте банковского процента нам помогает арифметическая и геометрическая прогрессии. Если смотреть на листья растения сверху, можно заметить, что они распускаются по спирали. Углы между соседними листьями образуют правильный математический ряд, известный под названием последовательности Фибоначчи. Благодаря этому каждый отдельно взятый лист, растущий на дереве, получает максимально доступное количество тепла и света. В природе последовательность Фибоначчи можно проследить на примерах спирального развития сегментов раковины и лепестков подсолнуха, расходящихся лучами из одной точки в центре цветка. в строении нашего тела, в ботанике, в процессах квантовой механики, в практической деятельности людей, она нашла широкое научное применение в математике, технике, музыке, эстетике и пр.
     В своей курсовой работе я приведу  примеры использования программных  средств компьютера при работе с  числовыми последовательностями. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Фигурные  числа в треугольнике Паскаля.

     В математике существует множество последовательностей, упакованных в одну форму. Примером может являться треугольник Паскаля.
     Треугольник   Паскаля  часто записывают в виде равнобедренного треугольника, в котором на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним слева и справа в предшествующей строке. Треугольник можно продолжать неограниченно. Он обладает симметрией относительно вертикальной оси, проходящей через его вершину.
     
     Треугольник   Паскаля  прост, но в то же время  таит в себе неисчерпаемые сокровища  и связывает воедино различные  разделы математики, не имеющие на первый взгляд ничего общего. Отметим  лишь некоторые из основных свойств.
     Каждый  элемент является биномиальным коэффициентом. Именно это фундаментальное свойство  треугольника   Паскаля  связывает  его не только с комбинаторикой и  теорией вероятностей, но и другими  областями математики и ее приложений, вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа и их обобщения на случай пространств всех размерностей.
     В этой части курсовой работы поставлена следующая задача: задать треугольник Паскаля с помощью Microsoft Office Excel и показать ряд интересных свойств этого треугольника.
     Для этого в столбце А укажем номер  строки треугольника: строки нумеруются сверху вниз, начиная с нуля. В  столбец В заполним нулями. Вершина  треугольника находится в ячейке С1, значение которой равно 1. С помощью  сложения двух соседних элементов предыдущей строки заполняем строку 2(к=1).  Для  этого в ячейку С2 записываем формулу  вычисления В1+С1 и переносим ее на соседнюю ячейку.
       
     Растянув  формулы по строкам и столбцам получаем треугольник Паскаля:

     Пользуясь возможностями Excel, не проводя вычислений, рассмотрим некоторые свойства треугольника Паскаля. Рассмотрим значения треугольника находящиеся в столбцах. Очевидно, что столбец D содержит натуральный ряд. Столбец Е – ряд треугольных чисел. Покажем это.
     Треугольное число — это число кружков, которые могут быть расставлены  в форме равностороннего треугольника.
     
     Последовательность  треугольных чисел Тn для n = 0, 1, 2, … начинается так:
     0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …
     n-ый член последовательности треугольных чисел можно задать так: Tn=1+2+3+…+n
     Покажем, что в треугольнике Паскаля действительно  есть последовательность треугольных  чисел:
       Tn=E(n+1)=D(n)+E(n)= D(n)+ D(n-1)+E(n-1)=…=
     =Dn+D(n-1)+…+D1+E1=0+1+2+…+n-2+n-1+n.
     Так как ряд начинается с ячейки E2 со значением 0, то для шестого члена последовательности имеем: T6=E7=1+2+…+6=15.
     Соседний  столбец, столбец F заполнен элементами последовательности тетраэдрических чисел Sn: 0,1,4,10, 24,36,… Эти числа показывают, сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).
     
     Известно, что каждый член этой последовательности может быть описан с помощью треугольных  чисел: Sn= T1+T2+…+Tn. Действительно, геометрически это можно показать так:
       
     В нашем случае элемент Sn расположен в ячейке по адресу F(n+2)=E(n+1)+F(n+1)=E(n+1)+En+Fn=…=E(n+1)+En+…+E2= Tn+Tn-1+…+T1
     Есть  еще одна последовательность фигурных чисел, которая может быть выражена с помощью треугольных чисел: квадратная. Kn=Tn+Tn-1. Элементы этой последовательности найдем с помощью Exsel. Задав для элементов столбца F формулу Fn=En+E(n-1) получаем элементы последовательности квадратных чисел.
     
     Геометрически такие числа могут быть представлены в виде площади квадрата с целочисленной  стороной.
     
     Пространственно из этих чисел получаются пирамиды с четырехугольником в основании.  

     Назовем последовательность таких чисел  пирамидальной-4 Pn. Приведем пример:

       Pn=K1+K2+…+Kn=T1+(T1+T2)+(T2+T3)+…+(Tn-2+Tn-1)+(Tn-1+Tn)+Tn=
     =(T1+T2+…+Tn-1)+(T1+T2+…+Tn-1+Tn)=Sn-1+Sn
     Итак, представим в Excel все разобранные выше последовательности фигурных чисел.
     
     Изучение  элементов теории фигурных чисел  на занятиях по математике в старших  классах средней школы не только возможно, но и крайне желательно: обширный исторический материал, расцвеченный увлекательными легендами и мифами, способствует повышению интереса к предмету, интересные геометрические конструкции выполняют пропедевтическую роль, готовя старшеклассников к изучению современной дискретной математики, в частности теории графов.
     Задание треугольника Паскаля в Excel делает доступным мгновенное вычисление любого элемента, позволяет убедиться во множестве его свойств. 
 
 

     Узоры таблицы Пифагора

     Впервые таблица Пифагора примерно в том  же виде, в каком ее печатают на обложках школьных тетрадей, но в ионийской  нумерации, появилась в сочинении  неопифагорейца Никомаха Геразского (I-II вв. н. э.) «Введение в арифметику». По словам Никомаха, эта таблица восходит «к самому Пифагору». Еще более древние таблицы умножения обнаружены на месопотамских глиняных табличках — их «возраст» около 5 тысяч лет. Таблицу Пифагора можно расширять вправо и вниз до бесконечности, соблюдая единственное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит.
     Расширенные таблицы умножения существуют давно. Так, например, в первой печатной математической книге на русском языке «Считание удобное, которым всякий человек, купующий или продающий, зело удобно изыскати может число всякие вещи» (Москва, 1682) имеется таблица умножения  чисел от 1×1 до 100×100.
     Таблица умножения скрывает в себе много  замечательных математических закономерностей, поиск которых способен превратиться в увлекательное занятие, сулящее  немало сюрпризов.
     К изучению свойств расширенной таблицы  Пифагора можно привлечь компьютер. Каждое число таблицы изобразим  точкой (или клеткой) координатной плоскости  монитора и в соответствии со свойствами чисел окрасим точки каким-либо цветом. Это реализуется с помощью  шаблона программы, написанной на языке Turbo Basic version 1.1.  
screen 12  
for n=1 to 120  
for m=1 to 120  
p=m*n  
line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),15,bf  
if условие then line (4*n,4*m)-(4*n+2,4*m+2),1,bf  
next m,n
     При исполнении программы каждое число  p расширенной таблицы Пифагора 120×120, находящееся на пересечении n-го столбца и m-й строки, будет изображаться белой клеткой, а числа, удовлетворяющие заданному в программе условию, — синими.
     Так, на рис. 1 (программа 1) синим цветом выделены квадратные числа таблицы Пифагора: 1, 4, 9, 16, …, n2,… , зеленым — треугольные: 1, 3, 6, 10, …, 1/2 n(n+1),… красным — числа одновременно и квадратные и треугольные: 1, 36, 1225, 41616 и т.д.
     Чтобы получить представление о том, как  в таблице Пифагора расположены  числа, дающие одинаковые остатки при  делении, например на 5, закрасим числа, дающие остатки 0, 1, 2, 3, 4, каждое своим  цветом. Как это ни удивительно, но таблица Пифагора оказывается расчленен  ной на совершенно одинаковые по раскраске  квадраты (рис. 2, программа 2).  
Аналогичное разбиение получается при делении чисел таблицы на любое другое натуральное число k, в чем легко убедиться, заменив в программе число 5 на него.
     Благодаря свойству периодичности таблицы  Пифагора по остаткам на экране возникают  разнообразные мозаики. Очевидно, чем  больше k, тем больше будет остатков r, тем больше потребуется цветов. Чтобы узоры не были слишком пестрыми, ограничимся, например, тремя цветами. Для этого остатки сгруппируем по модулю 3, то есть первым цветом закрасим числа таблицы с остатками 1, 4, 7, 10.., вторым — числа с остатками 2, 5, 8, 11.., а третьим — числа, кратные 3 (рис.3, программа 3).
     Можно расчленить любую из этих мозаик на три одноцветные, дополняющие одна другую до полной мозаики. Каждая из них  в отдельности тоже представляет интерес (рис.4, программа 4).
     Еще один вариант трехцветных мозаик приведен на рис. 5 (программа 5). Здесь  для большей симметрии одинаковым цветом закрашены не только числа  с одинаковым остатком r, но и числа с остатком, дополняющим r до k.  
Интересные мозаики возникают и тогда, когда красят не все числа, а выборочно. Например, трехцветный узор на рис. 6 (программа 6). Кружевной монохромный узор (рис.7, программа 7) возникает, если во всей таблице закрасить одинаковым цветом только числа, дающие остатки, сравнимые с одним и тем же натуральным числом.
     А если в программу включить генератор  случайных чисел для определения  размеров квадратов k, лежащих в периоде номеров расширенной таблицы Пифагора и номеров цвета c, то с помощью компьютера таблица превратится в своеобразный калейдоскоп удивительных и неповторяющихся узоров (рис. 8, программа 8).
     На  рис. 9 (программа 9) показано, как в  таблице Пифагора 32×32 чередуются числа  нечетных и четных сотен. Здесь каждое число изображено клеткой синего или зеленого цвета. Причем числа  первой, третьей, пятой и т. д. сотни  закрашены синим, а числа второй, четвертой, шестой и т.д. — зеленым. Ясно, что если произведение n x m постоянно, то между числами существует обратная пропорциональность, поэтому чередующиеся синие и зеленые полосы имеют гиперболическую форму.
     С увеличением произведения n x m ширина полос уменьшается, а затем полосы и вовсе разрываются и распадаются на одноцветные островки, которые группируются с островками того же цвета, но из другой сотни, образуя симметричные формы (рис. 10, программа 10). Здесь каждое число таблицы 480×480 изображено точкой-пикселем.
     Занимаясь изучением свойств таблицы Пифагора, можно отыскать новые, не менее красивые узоры на основе этой древней числовой схемы.  
 

     
и т.д……………..

* Примечание. Уникальность работы указана на дату публикации, текущее значение может отличаться от указанного.